Question

已知方程組的兩個(gè)解為和，且x₁，x₂是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，若x₁²+x₂²-3x₁x₂=8a²-6a-11．
（1）求a的值；
（2）不解方程組判斷方程組的兩個(gè)解能否都是正數(shù)？為什么？

Answer 1

解：（1）由方程組可得x²-x+a+1=0，
由題意知：△=1-4（a+1）=-3-4a＞0，
所以a＜-．
又x₁+x₂=1，x₁x₂=a+1，
所以x₁²+x₂²-3x₁x₂=（x₁+x₂）²-5x₁x₂=1-5（a+1）=-4-5a=8a²-6a-11，
解得：a=-或1．又a＜-，
所以a的值為-．
（2）能．
∵x₁+x₂=1＞0，x₁x₂=a+1=＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，且y₁=x₁+1＞0，y₂=x₂+1＞0，
故存在方程組的兩個(gè)解都為正數(shù)．
即可以不解方程組判斷方程組的兩個(gè)解都是正數(shù)．
分析：（1）首先將方程（2）代入（1），變成一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知道兩根之和大于0，兩根之積大于0，可以得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系和用公式法解一元二次方程，題目很有新意，要好好理解．