Question

認(rèn)真閱讀材料，然后回答問(wèn)題：
我們初中學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，相應(yīng)的，我們可以計(jì)算出多項(xiàng)式的展開(kāi)式，如：（a+b）¹=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=（a+b）²（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³，…
下面我們依次對(duì)（a+b）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)是可以單獨(dú)列成表中的形式：

上面的多項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)表稱(chēng)為“楊輝三角形”；仔細(xì)觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問(wèn)題：
（1）多項(xiàng)式（a+b）ⁿ的展開(kāi)式是一個(gè)幾次幾項(xiàng)式？并預(yù)測(cè)第三項(xiàng)的系數(shù)；
（2）請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下多項(xiàng)式（a+b）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和．
（3）結(jié)合上述材料，推斷出多項(xiàng)式（a+b）ⁿ（n取正整數(shù)）的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為S，（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得當(dāng)n=1，2，3，4，…時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）ⁿ的展開(kāi)式是一個(gè)幾次幾項(xiàng)式，第三項(xiàng)的系數(shù)是多少，然后找規(guī)律，即可求得答案；
（2）首先求得當(dāng)n=1，2，3，4…時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，即可求得答案；
（3）結(jié)合（2），即可推斷出多項(xiàng)式（a+b）ⁿ（n取正整數(shù)）的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和．

解答：解：（1）∵當(dāng)n=1時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）¹的展開(kāi)式是一次二項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：0=

1×0

2

，
當(dāng)n=2時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）²的展開(kāi)式是二次三項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：1=

2×1

2

，
當(dāng)n=3時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）³的展開(kāi)式是三次四項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：3=

3×2

2

，
當(dāng)n=4時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）⁴的展開(kāi)式是四次五項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：6=

4×3

2

，
…
∴多項(xiàng)式（a+b）ⁿ的展開(kāi)式是一個(gè)n次n+1項(xiàng)式，第三項(xiàng)的系數(shù)為：

n(n-1)

2

；

（2）預(yù)測(cè)一下多項(xiàng)式（a+b）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：2ⁿ；

（3）∵當(dāng)n=1時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）¹展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+1=2=2¹，
當(dāng)n=2時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）²展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+2+1=4=2²，
當(dāng)n=3時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）³展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+3+3+1=8=2³，
當(dāng)n=4時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）⁴展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+4+6+4+1=16=2⁴，
…
∴多項(xiàng)式（a+b）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和：S=2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于規(guī)律性、閱讀性題目．此題難度較大，由特殊到一般的歸納方法的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．