Question

在三角形ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACD平分線于點E．
（1）求證：OE=OF．
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線性質和角平分線性質及，由平行線所夾的內錯角相等易證；
（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，根據(jù)矩形的判定方法，即一個角是直角的平行四邊形是矩形可證．

解答：（1）證明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO；

（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
理由如下：
∵EO=FO，點O是AC的中點．
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=

1

2

×180°=90°．
即∠ECF=90度，
∴四邊形AECF是矩形．

點評：本題涉及矩形的判定定理，解答此類題的關鍵是要突破思維定勢的障礙，運用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結論，挖掘它的內在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結論．