Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（6，0），C（-4，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D、點E同時從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度分別沿x軸正半軸，y軸正半軸向點A、點B方向移動，當點D運動到點A時，點D、E同時停止移動．過點D作x軸的垂線交拋物線于點F，交AB于點G，作點E關(guān)于直線DF的對稱點E′，連接FE′，射線DE′交AB于點H．設(shè)運動時間為t秒．
①t為何值時點E′恰好在拋物線上，并求此時△DE′F與△ADG重疊部分的面積；
②點P是平面內(nèi)任意一點，若點D在運動過程中的某一時刻，形成以點A、E′、D、P為頂點的四邊形是菱形，那么請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）①根據(jù)題意設(shè)E′（2t，t），代入拋物線的解析式即可求得t的值，進而求得D、E′的坐標，根據(jù)A（6，0），B（0，3）求得直線AB的解析式，根據(jù)D（2，0），E′（4，2）求得直線DE′的解析式，進而求得G、H的坐標，即可求得三角形DGH的面積，即是△DE′F與△ADG重疊部分的面積；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)分三種情況分別討論即可求得P的坐標；

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（6，0），C（-4，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．
∴

36a+6b+c=0 16a-4b+c=0 c=3

，解得

a=- 1 8 b= 1 4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

8

x²+

1

4

x+3；

（2）①根據(jù)題意設(shè)E′（2t，t），
∴t=-

1

8

×4t²+

1

4

×t+3，解得：t=2，t=-3（舍去），
∴D（2，O），E′（4，2）
∵A（6，0），B（0，3）．
∴直線AB為y=-

1

2

x+3，
把x=2代入得y=-

1

2

×2+3=2，
∴G（2，2），
∵D（2，0），E′（4，2），
∴直線DE′的解析式為y=x-2，
解

y=- 1 2 x+3 y=x-2

，得

x= 10 3 y= 4 3

，
∴H（

10

3

，

4

3

），
∴S_△DGH=

1

2

×2×（

10

3

-2）=

4

3

，
∴t為2時點E′恰好在拋物線上，此時△DE′F與△ADG重疊部分的面積為

4

3

；
②如圖，當AD為對角線時，∵A（6，0），D（2，0），E′（4，2），以點A、E′、D、P為頂點的四邊形是菱形，
則DE′=AE′，
∴E′和P關(guān)于x軸對稱，
∴P（4，-2）
所以點P的坐標為（4，-2）；
當AD、DE是邊時；∵AD=6-t，菱形ADE′P
∴E'P=AD=DE′=6-t
∵E'（2t，t），D（t，0）
∴DE′²=t²+t²=2t²
∴2t²=（6-t）²
∴t₁=-6+6

2

，t₂=-6-6

2

（舍去），
∵P（t+6，t）
∴P（6

2

，-6+6

2

），
當AD、AE是邊時；∵AD=6-t，菱形AE'PD
∴E'P=AD=AE′=6-t，
∵E'（2t，t），D（t，0），
∵AE′²=（6-2t）²+t²，
∴（6-2t）²+t²=（6-t）²，
∴t₃=3，t₄=0（舍去），
∴P（3，3）．
綜上，P（4，-2）或P（6

2

，-6+6

2

）或（3，3）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，直線的交點坐標，三角形的面積，以及菱形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是確定D的坐標．