Question

已知直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A(-4，3)，點(diǎn)B在x軸上，△AOB是等腰三角形。

(1)求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo)。（直接寫出答案）

(2)求過O、A、B三點(diǎn)且開口向下的拋物線的函數(shù)解析式。（只需求出滿足條件的即可）。

(3)在(2)中求出的拋物線上存在點(diǎn)p，使得以O(shè)、A、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積。

 

 

Answer 1

(1) （-5，0）；（5，0）；（-8，0）；（-，0）．(2) 當(dāng)AB=OA時，y=-x2-x；當(dāng)OA=OB時，同理得y=-x2-x；(3) （4，-9），48．（-12，-9），48. (1，-），．（-9，-27），75．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，易求得OA=5，若△AOB是等腰三角形，應(yīng)分三種情況考慮：

①OA=OB=5，由于點(diǎn)B的位置不確定，因此要分B在x軸正、負(fù)半軸兩種情況求解，已知了OB的長，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②OA=AB=5，此時點(diǎn)B只能在x軸負(fù)半軸上，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)應(yīng)為點(diǎn)A橫坐標(biāo)的2倍，可據(jù)此求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

③AB=OB=5，此時點(diǎn)B只能在x軸負(fù)半軸上，可在x軸上截取AD=OA，通過構(gòu)建相似三角形：△OBA∽△OAD，通過所得比例線段來求出OB的長，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）任選一個（1）題所得的B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．

（3）解此題時，雖然不同的拋物線有不同的解，但解法一致；分兩種情況：

①OA∥BP時，可分別過A、P作x軸的垂線，設(shè)垂足為C、E，易證得△AOC∽△PBE，根據(jù)所得比例線段，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．而梯形ABPO的面積可化為△ABO、△PBO的面積和來求出．

②OP∥AB時，方法同上，過P作PF⊥x軸于F，然后通過相似三角形：△ABC∽△POF，來求出P點(diǎn)坐標(biāo)，梯形面積求法同上．（當(dāng)OA=AB時，兩種情況的點(diǎn)P正好關(guān)于拋物線對稱軸對稱，可據(jù)此直接求出P點(diǎn)坐標(biāo)，避免重復(fù)計算．）

作AC⊥x軸，由已知得OC=4，AC=3，OA=

（1）當(dāng)OA=OB=5時，

如果點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖（1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，0）；

如果點(diǎn)B在x軸的正半軸上，如圖（2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）；

當(dāng)OA=AB時，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖（3），BC=OC，則OB=8，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-8，0）；

當(dāng)AB=OB時，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖（4），在x軸上取點(diǎn)D，使AD=OA，可知OD=8．

由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA，

則，

解得OB=，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-，0）．

（2）當(dāng)AB=OA時，拋物線過O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三點(diǎn)，

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx，

可得方程組

，

解得，

∴y=-x2-x；

當(dāng)OA=OB時，同理得y=-x2-x；

（3）當(dāng)OA=AB時，若BP∥OA，如圖（5），作PE⊥x軸，

則∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°，

∴△AOC∽△PBE，

∴．

設(shè)BE=4m，PE=3m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4m-8，-3m），

代入y=-x2-x，

解得m=3；

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-9），

S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48．

若OP∥AB，根據(jù)拋物線的對稱性可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-12，-9），

S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48．

當(dāng)OA=OB時，若BP∥OA，如圖（6），作PF⊥x軸，

則∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°，

△AOC∽△PBF，

；

設(shè)BF=4m，PF=3m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4m-5，-3m），

代入y=-x2-x，

解得m=．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-），

S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=．

若OP∥AB（圖略），作PF⊥x軸，

則∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°，

△ABC∽△POF，

；

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-n，-3n），

代入y=-x2-x，

解得n=9．

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-9，-27），S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．