Question

如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝．在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK．

(1)若∠1＝70°，求∠MKN的度數(shù)．

(2)△MNK的面積能否小于？若能，求出此時∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由．

(3)如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值及∠1的度數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵ABCD是矩形，∴AM∥DN， 　　∴∠KNM＝∠1． 　　∵∠KMN＝∠1， 　　∴∠KNM＝∠KMN． 　　∵∠1＝70°， 　　∴∠KNM＝∠KMN＝70°． 　　∴∠MKN＝40°．(2分) 　　(2)不能．(3分) 　　由折疊∠1＝∠NMK，又DN∥AM，∠MNK＝∠1，于是∠MNK＝∠NMK，所以KN＝KM， △MNK的面積＝KN＝，所以KM最小值為1，即KM⊥AM，所以∠MNK＝∠1＝45°，此時△MNK的面積最小為，所以此三角形面積不能小于(5分) 　　(3)△MNK的面積最大，只需KN最大，又KN＝KM最大，于是可以有兩種方法折疊，如圖，情形1，將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與點D重合，設(shè)MK＝MD＝x，則AM＝－ x，由勾股定理，得 　　， 　　1＋，所以 　　 　　Sin∠AMD＝ 　　∠AMD＝45°，∠1＝67.5°(8分) 　　情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC． 　　設(shè)MK＝AK＝CK＝x，則DK＝－x，同理可得 　　即MK＝NK＝ 　　∴ 　　Sin∠AKD＝，∠AKD＝45°，∠1＝22.5° 　　∴△MNK的面積最大值為，∠1＝67.5°或22.5°(10分)