Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為△ABC內一點，AD=1，而DC、DB的長是關于x的方程x²-kx+6=0的兩個實數根x₁，x₂（DC＜DB）并且

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

13

36

．
（1）作出△ACD繞點C順時針旋轉90°后所得△BCE；
（2）求k的值，并連接DE并說明△DCE的形狀；
（3）求∠ADC的度數．

Answer 1

分析：（1）點A旋轉到B的位置，過C作CE⊥CD，CE在CD的右側，且CE=CD．
（2）利用一元二次方程根與系數的關系，用k表示出兩根和、兩根積，

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

13

36

可以變形為

(x1+x2)2-2x1x2

(x1x2)2

=

13

36

，把方程的兩根的和與積代入即可得到關于k的方程，即可求出k的值．根據旋轉的性質即可求得△DCE的形狀；
（3）由于△DCE是等腰直角三角形，所以∠CDE=45°，所以∠ADC=135°．

解答：解：（1）旋轉后的圖形如圖示．

（2）根據根與系數的關系：x₁+x₂=k，x₁•x₂=6，
則由于

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

13

36

，
∴

(x1+x2)2-2x1x2

(x1x2)2

=

13

36

，
∴

k2-12

36

=

13

36

，
解得：k=±5，
∵DC、DB的長是關于x的方程x²-kx+6=0的兩個實數根x₁，x₂
而DC、DB是三角形的邊長，為正值，
∴x₁+x₂=k＞0，
∴k=5．
∵∠ACD=∠BCE，
而∠ACD+∠DCB=90°，
又∵DC=EC，
∴△DCE是等腰直角三角形．

（3）∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴∠ADC=135°．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系，利用根與系數的關系把求未知系數的問題轉化為解方程的問題，并且本題考查了旋轉的性質，以及作圖，關鍵是確定旋轉角．