Question

如圖是一張傳說中的“藏寶圖”，圖上除標(biāo)明了A﹑B﹑C三點(diǎn)的位置以外，并沒有直接標(biāo)出”寶藏”的位置，但圖上注有尋找“寶藏”的方法：把直角△ABC補(bǔ)成矩形，使矩形的面積是ABC的2倍，“寶藏”就在矩形未知的頂點(diǎn)處，那么“寶藏”的位置可能是

 

．（用坐標(biāo)表示）

Answer 1

分析：如何補(bǔ)成符合要求的矩形是關(guān)鍵．有2種方法：①以兩直角邊為鄰邊組成矩形；②以斜邊為一邊，直角頂點(diǎn)在對邊上補(bǔ)成矩形．分別根據(jù)圖形計算求解．

解答：解：由圖上可知，以原三角形的直角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，直角三角形的兩個銳角分別為30°和60°，兩條直角邊長分別為2和2

3

，且把直角△ABC補(bǔ)成矩形，有三種可能：
（1）讓相同的直角三角形與原三角形斜邊重合的，這樣面積為原來的2倍，另一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2

3

）；
（2）以原三角形的斜邊為矩形的一邊補(bǔ)成矩形，如圖所示：

在原三角形的斜邊上作出過直角頂點(diǎn)的高，垂足為點(diǎn)H，則把原三角形分成兩個直角三角形了，以長為2的直角邊為斜邊，再補(bǔ)一個與這個小直角三角形重合斜邊的小直角三角形的頂點(diǎn)D，即為矩形的頂點(diǎn)D，以長為2

3

的直角邊為斜邊，再補(bǔ)一個與這個小直角三角形重合斜邊的小直角三角形的頂點(diǎn)F，即為矩形的頂點(diǎn)F，
則點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離=2×cos60°=2×

1

2

=1，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)=-1×cos60°=-

1

2

，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)=-1×sin60°=-

3

2

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

1

2

，-

3

2

）；
點(diǎn)F到原點(diǎn)的距離=2

3

×cos30°=3，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)=3×cos60°=

3

2

，
點(diǎn)F的縱坐標(biāo)=3×sin60°=-

3 3

2

，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

3

2

，

3 3

2

）．
所以填：（2，2

3

）或（-

1

2

，-

3

2

）或（

3

2

，

3 3

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中用特殊三角函數(shù)求點(diǎn)坐標(biāo)的能力．