Question

如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，相交于點(diǎn)，則可得結(jié)論：①；②．（不需要證明）

（1）如圖2，若點(diǎn)不是正方形的邊的中點(diǎn)，但滿足，則上面的結(jié)論①，②是否仍然成立？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如圖3，若點(diǎn)分別在正方形的邊的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線上，且，此時(shí)上面的結(jié)論1，2是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖4，在（2）的基礎(chǔ)上，連接和，若點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過程．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，

∴△DEC≌△AFD；

∴結(jié)論①、②成立

（2）結(jié)論①、②仍然成立．理由為：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，

在Rt△ADF和Rt△ECD中

AD=DC

∠ADC=∠DCB

CE=DF，

∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），

∴AF=DE，

∴∠DAF=∠CDE，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠ADE+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，

∴AF⊥DE；

（3）結(jié)論：四邊形MNPQ是正方形

證明：∵AM=ME，AQ=QD，

∴MQ∥DE且MQ=DE，

同理可證：PN∥DE，PN=DE；

MN∥AF，MN=AF；

PQ∥AF，PQ=AF；

∵AF=DE，

∴MN=NP=PQ=QM，

∴四邊形MNPQ是菱形，

又∵AF⊥DE，

∴∠MQP=∠QMN=∠MNP=∠NPQ=90°，

∴四邊形MNPQ是正方形．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△DEC≌△AFD即可知道結(jié)論成立．

（2）由已知得四邊形ABCD為正方形，證明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；進(jìn)而得出AF⊥DE；

（3）首先根據(jù)題意證明四邊形MNPQ是菱形，然后又因?yàn)锳F⊥DE，得出四邊形MNPQ為正方形．