Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，D、E是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足∠DCE=45°．
（1）如圖②，把△ADC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BKC，連結(jié)EK．
①求證：△DCE≌△KCE．
②求證：DE2=AD2+BE2 ．
③思考與探究：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A向AB的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)嘗試寫(xiě)出DE長(zhǎng)度的變化趨勢(shì) ；并直接寫(xiě)出DE長(zhǎng)度的最大值或最小值 （標(biāo)明最大值或最小值）．
（2）如圖③，若△CDE的外接圓⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)F、G，求證：CF：CG=BE：AD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：△ACD≌△BCK，

∴CD=CK，∠ACD=∠BCK，

∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，

∴∠BCK+∠BCE=45°，

即∠KCE=45°，

∴∠KCE=∠DCE，

∵CE=CE，

∴△DCE≌△KCE（SAS）；

②如圖2，∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵△DCE≌△KCE，

∴DE=EK，∠KBC=∠A=45°，KB=AD，

∴∠KBE=45°+45°=90°，

在Rt△KBE中，KE2=BE2+KB2，

∴DE2=AD2+BE2；|當(dāng)D從A到D時(shí)，DE越來(lái)越小，再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，越來(lái)越大；|DE最大值=1，DE最小值=2 ﹣2

③∵∠ACB=90°，AC=BC= ，

∴AB= =2，

設(shè)AD=x，DE=y，則BE=2﹣x﹣y，

當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A向AB的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，0≤y≤1，0≤x≤1，AD=BE時(shí)，DE最小，如圖2，BE=BK=x，

則x=2﹣x﹣y，

y=2﹣2x，

∵KE2=BE2+KB2，

∴y2=x2+x2，

（2﹣2x）2=2x2，

x2﹣4x+2=0，

解得：x1=2+ （不符合題意，舍去），x2=2﹣ ，

∴y=2﹣2（2﹣ ）=2 ﹣2，

即DE的最小值是：2 ﹣2，

當(dāng)D與A重合或D與AB的中點(diǎn)重合時(shí)，DE最大，最大值是1；

∴DE長(zhǎng)度的變化趨勢(shì)是：當(dāng)D從A到D時(shí)，DE越來(lái)越小，再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，越來(lái)越大；

故答案為：當(dāng)D從A到D時(shí)，DE越來(lái)越小，再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，越來(lái)越大；DE最大值=1， ；

（2）如圖3，把△ADC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BKC，連結(jié)EK，EG，

∵D、C、E、G四點(diǎn)共圓，

∴∠EGB=∠CDE，

∵∠DCE=∠EBC=45°，

在△CDE和△GEB中，∴∠CED=∠GEB，

由①得：△CDE≌△CKE，

∴∠CED=∠CEK，

∴∠CEK=∠GEB，

∴∠CEK﹣∠GEK=∠GEB﹣∠GEK，

即∠CEG=∠KEB，

∵∠CEG=∠CFG，

∴∠CFG=∠KEB，

∵∠ACB=∠EBK=90°，

∴△FCG∽△EBK，

∴ ，

由①得：△ACD≌△BCK，

∴AD=BK，

∴CF：CG=BE：AD．

【解析】（1）①由旋轉(zhuǎn)得：CD=CK，∠ACD=∠BCK，證明∠KCE=∠DCE=45°，根據(jù)SAS證明：△DCE≌△KCE；②先求∠KBE=45°+45°=90°，在Rt△KBE中，利用勾股定理可得結(jié)論；③如圖2，本題可以看作是周長(zhǎng)一定，即直角△EBK的周長(zhǎng)為2，斜邊DE的變化趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半可知：DE的大小取決于直角△EBK斜邊中線(xiàn)的大小，當(dāng)直角△EBK是等腰直角三角形（設(shè)兩直角邊分別為a、b時(shí)，斜邊為 ，因?yàn)閍2+b2≥2ab，當(dāng)a=b時(shí)， 有最小值）時(shí)，中線(xiàn)最短，由此計(jì)算DE的最小值，當(dāng)D與A重合或D與AB的中點(diǎn)重合時(shí)，DE最大，最大值是1；（2）如圖3，同①作輔助線(xiàn)，證明△FCG∽△EBK，列比例式得 ，由①得：△ACD≌△BCK， AD=BK，所以CF：CG=BE：AD．