精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標系中,點A的坐標為(0,8),點 B(b,t)在直線x=b上運動,點D、E、F分別為OB、0A、AB的中點,其中b是大于零的常數(shù).
(1)判斷四邊形DEFB的形狀.并證明你的結(jié)論;
(2)試求四邊形DEFB的面積S與b的關(guān)系式;
(3)設(shè)直線x=b與x軸交于點C,問:四邊形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,說明理由.
分析:(1)四邊形DEFB是平行四邊形.利用DE、EF為△OAB的中位線證明平行四邊形;
(2)根據(jù)DE、EF為△OAB的中位線可知,S△AEF=S△ODE=
1
4
S△AOB,利用S=S△AOB-S△AEF-S△ODE求S與b的關(guān)系式;
(3)當∠ABO=90°時,四邊形DEFB是矩形,由Rt△OCB∽Rt△ABO,根據(jù)相似比得OB2=OA•BC,由勾股定理得OB2=BC2+OC2,利用b、t分別表示線段的長,列方程求解.
解答:解:(1)四邊形DEFB是平行四邊形.
證明:∵D、E分別是OB、OA的中點,
∴DE∥AB,同理,EF∥OB,
∴四邊形DEFB是平行四邊形;

(2)解法一:∵S△AOB=
1
2
×8×b=4b,
由(1)得EF∥OB,∴△AEF∽△AOB,
S△AEF
S△AOB
=(
1
2
2,即S△AEF=
1
4
S△AOB=b,同理S△ODE=b,
∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b,即S=2b(b>0);精英家教網(wǎng)
解法二:如圖,連接BE,S△AOB=
1
2
×8×b=4b,
∵E、F分別為OA、AB的中點,
∴S△AEF=
1
2
S△AEB=
1
4
S△AOB=b,
同理S△EOD=b,
∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b,
即S=2b(b>0);

(3)解法一:以E為圓心,OA長為直徑的圓記為⊙E,
①當直線x=b與⊙E相切或相交時,若點B是切點或交點,則∠ABO=90°,由(1)知,四邊形DEFB是矩形,
此時0<b≤4,可得△AOB∽△OBC,
OB
BC
=
OA
BO
,即OB2=OA•BC=8t,
在Rt△OBC中,OB2=BC2+OC2=t2+b2
∴t2+b2=8t,
∴t2-8t+b2=0,
解得t=4±
16-b2
,
②當直線x=b與⊙E相離時,∠ABO≠90°,
∴四邊形DEFB不是矩形,
綜上所述:當0<b≤4時,四邊形DEFB是矩形,這時,t=4±
16-b2
,當b>4時,四邊形DEFB不是矩形;
解法二:由(1)知,當∠ABO=90°時,四邊形DEFB是矩形,
∵∠COB+∠AOB=90°,∠OAB+∠AOB=90°,
∴∠COB=∠OAB,
又∵∠ABO=∠OCB=90°,
∴Rt△OCB∽Rt△ABO,
BC
OB
=
OB
AO
,即OB2=OA•BC,精英家教網(wǎng)
又OB2=BC2+OC2=t2+b2,OA=8,BC=t(t>0),
∴t2+b2=8t,
∴(t-4)2=16-b2
①當16-b2≥0時,解得t=4±
16-b2
,此時四邊形DEFB是矩形,
②當16-b2<0時,t無實數(shù)解,此時四邊形DEFB不是矩形,
綜上所述:當16-b2≥0時,四邊形DEFB是矩形,此時t=4±
16-b2
,當16-b2<0時,四邊形DEFB不是矩形;
解法三:如圖,過點A作AM⊥BC,垂足為M,
在Rt△AMB中,AB2=AM2+BM2=b2+(8-t)2,
在Rt△OCB中,OB2=OC2+BC2=b2+t2,
在△OAB中,當AB2+OB2=OA2時,∠ABO=90°,則四邊形DEFB為矩形,
∴b2+(8-t)2+b2+t2=82,
化簡得t2-8t=-b2,配方得(t-4)2=16-b2,其余同解法二.
點評:本題考查了平行四邊形、矩形、相似三角形的判定與性質(zhì),一次函數(shù)及勾股定理的運用.本題綜合性較強,需要熟練掌握特殊圖形的性質(zhì),形數(shù)結(jié)合,運用代數(shù)方法解答幾何問題.
練習(xí)冊系列答案
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18、如圖,在直角坐標系中,已知點A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點的坐標為
(24,0)

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(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標和
PP′
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如圖,在直角坐標系中,O為原點.反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點A,點A的縱坐標是橫坐標的
3
2
倍.
(1)求點A的坐標;
(2)如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負半軸交于點B,AC⊥x軸于點C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數(shù)的解析式.
(3)點D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點E,當△ABC與△CDE相似時,求點D的坐標.

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如圖,在直角坐標系中,△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時滿足下列兩個條件:
(1)以原點O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標上相應(yīng)字母)

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(1)△AOB的面積是
6
6
;
(2)三角形(2013)的直角頂點的坐標是
(8052,0)
(8052,0)

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