Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，E、F分別為邊BC、AC上兩點(diǎn)，且∠EDF=90°
（1）求證：AF²+BE²=EF²；
（2）若BE=5，AF=12，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=DF，連接BG，易證EF=EG，△ADF≌△BDG，可得BG=AF，∠DBG=∠A，即可求得∠CBG=90°，即可判定△BEG是直角三角形，根據(jù)勾股定理可得BE²+BG²=EG²，即可解題；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，將BE、AF的值代入即可求得EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=DF，連接BG，

∵∠EDF=90°，DF=DG，
∴DE垂直平分FG，
∴EF=EG，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
在△ADF和△BDG中，

DF=DG ∠ADF=∠BDG AD=BD

，
∴△ADF≌△BDG（SAS），
∴BG=AF，∠DBG=∠A，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBG=∠ABC+∠DBG=90°，
∴△BEG是直角三角形，
∴BE²+BG²=EG²，
∴AF²+BE²=EF²；
（2）∵AF²+BE²=EF²，BE=5，AF=12，
∴EF²=AF²+BE²=169，
∴EF=13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求證△ADF≌△BDG是解題的關(guān)鍵．