Question

如圖（1）（2），直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上任意一點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），過(guò)M分別作MC⊥OA于點(diǎn)C，MD⊥OB于D．
（1）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是______（用含a的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你認(rèn)為四邊形OCMD的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？
（4）當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動(dòng)，設(shè)平移的距離為b（0＜b＜4），正方形O′CMD與△AOB重疊部分的面積為S．試求S與b的函數(shù)關(guān)系式并畫(huà)出該函數(shù)的圖象．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=a時(shí)，代入直線的解析式得：y=-a+4．
故答案是：-a+4；
（2）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）；
則：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x；
∴C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8
∴當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長(zhǎng)不發(fā)生變化，總是等于8；
（3）根據(jù)題意得：S_{四邊形OCMD}=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x=-（x-2）²+4
∴四邊形OCMD的面積是關(guān)于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x（0＜x＜4）的二次函數(shù)，并且當(dāng)x=2，即當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4；
（4）如圖（2），當(dāng)0＜b≤2時(shí)，△MEF是等腰直角三角形，ME=b，．
則S=4-b²=-b²+4；
如圖10（3），當(dāng)2≤b＜4時(shí)，△AGH是等腰直角三角形，AH=4-b，則S=（4-b）²；
∴S與b的函數(shù)的圖象如下圖所示：

分析：（1）把當(dāng)x=a時(shí)，代入直線的解析式即可求得縱坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4，利用P的坐標(biāo)即可表示出四邊形OCMD的周長(zhǎng)，然后對(duì)整式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；
（3）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4，利用P的坐標(biāo)即可表示出四邊形OCMD的面積即可表上成x的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值；
（4）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)重合部分是五邊形時(shí)，面積是正方形與△EFM的差；重合部分是三角形，利用三角形的面積公式即可得到函數(shù)解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，正確列出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．