Question

已知二次函數(shù)y₁=x²-（k+2）x+2，y₂=x²-kx-2k+2，
（1）若二次函數(shù)y₁=x²-（k+2）x+2與y軸的交點為A，與x軸的交點為B、C，△ABC的面積S=2

2

，求y₁的解析式．
（2）不論k為何值時，二次函數(shù)y₂=x²-kx-2k+2的圖象都過定點，求這個定點坐標；若經(jīng)過定點和原點的直線與y₂中某個二次函數(shù)圖象相切時，求這個二次函數(shù)y₂的解析式．
（3）若二次函數(shù)y₁=x²-（k+2）x+2與x軸的交點為（x₁，0）、（x₂，0），且x₁＜x₂，二次函數(shù)y₂=x²-kx-2k+2與x軸的交點為（x₃，O）、（x₄，0），且x₃＜x₄，當這四個交點相間排列（即x₁＜x₃＜x₂＜x₄或x₃＜x₁＜x₄＜x₂）時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=0，求得y_l=2，得出A點坐標，設B（x₁，0）、C（x₂，0）根據(jù)S_△ABC=2

2

，即可求出k₁=2，k₂=-6，則y₁的解析式為y₁=x²-4x+2或y'₁=x²+4x+2；
（2）令k=0，得x=-2，y=6頂點為P（-2，6），或由k（x-2）+y-x²-2=0，得x-2=0，y=x²+2頂點P為（-2，6），經(jīng)過點P（-2，6）與原點0（0，O）的直線y=-3x，把y₂=-3x代入y₂=x²-kx-2k+2，求出k，則y₂=x²+x+4
（3）由x²-（k+2）x+2=x²-kx-2k+2，得x=k，把x=k代入y=x²-kx-2k+2得y=2-2k，根據(jù)已知條件，得2-2k＜0，即可得出k的取值范圍．

解答：解：（1）令x=0得），y_l=2
∴A（0，2），設B（x₁，0）、C（x₂，0）
|BC|=

(k+2)2-8

S_△ABC=

1

2

|BC|•|OA|=2

2

，k₁=2，k₂=-6
y₁=x²-4x+2或y'₁=x²+4x+2
∵△₁=8＞O
∴y₁的解析式為y₁=x²-4x+2或y'₁=x²+4x+2

（2）令k=0得y₂=x²+2①
k=l得y₂=x²-x②
解由①②組成的方程組得x=-2y=6滿足y₂的表達式、頂點為P（-2，6）
或由k（x-2）+y-x²-2=0
得x-2=0，y=x²+2頂點P為（-2，6）
經(jīng)過點P（-2，6）與原點0（0，O）的直線y=-3x
把y₂=-3x代入y₂=x²-kx-2k+2得x²+（3-k）x-2k+2=0
△=（3-k）²-4（2-2k）=k²+2k+l=0
∴k=-1，∴y₂=x²+x+4

（3）x²-（k+2）x+2=x²-kx-2k+2得x=k
把x=k代入y=x²-kx-2k+2得y=2-2k
∵y_l、y₂的圖象開口向上，開口大小一樣且對稱軸不同
∴y_l、y₂的圖象交點在x軸下方，即y＜0時，滿足題設條件
∴2-2k＜0
∴k的取值范圍為k＞l．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了解析式的確定，頂點坐標的求法，培養(yǎng)學生的綜合運用能力，難度較大．