Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A(3,0)，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)M(m,0)為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N.

①求PN的最大值；

②若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；拋物線的解析式為；（2）①PN的最大值為3；②若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）先將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線解析式求出c的值，從而可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；再由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）①利用點(diǎn)M坐標(biāo)、直線解析式、拋物線的解析式可求出點(diǎn)P、N的坐標(biāo)，從而可求得PN用m表示的代數(shù)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可；

②要使和相似，則需分和兩種情況討論，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例求解即可.

（1）將代入得，解得

則直線的解析式為

令，代入得

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

將代入拋物線得：

，解得

則拋物線的解析式為；

（2）①由題意得：點(diǎn)P、N的橫坐標(biāo)均為m，且

分別代入兩個(gè)解析式可得兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：

則

當(dāng)時(shí)，PN隨m的增大而增大；當(dāng)時(shí)，PN隨m的增大而減小

則當(dāng)時(shí)，PN取得最大值，最大值為3；

②在和中，

如果和相似，則或

當(dāng)時(shí)，，

即

解得：（舍去）或

經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，

由和兩點(diǎn)距離公式可得：

代入得：，解得：（舍去）或

經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

綜上，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或.