Question

對于x的二次三項式ax²+bx+c（a＞0）．
（1）當c＜0時，求函數y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值；
（2）若不論k為任何實數，直線y=k(x-1)-

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）首先設y₁=ax²+bx+c，由a＞0，c＜0，可得△＞0，即可得|ax²+bx+c|≥0，繼而求得函數y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值；
（2）由直線y=k（x-1）-

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，可得ax²+（b-k）x+

k2

4

+k+c=0有相等的實數解，可得判別式△=0，又由不論k為任何實數，直線y=k(x-1)-

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，即可得方程組

1-a=0 -2(2a+b)=0 b2-4ac=0

，繼而求得a，b，c的值．

解答：解：（1）設，y₁=ax²+bx+c，
∵a＞0，c＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
∴y₁=ax²+bx+c與x軸有兩個交點，
∴|ax²+bx+c|的最小值為0，
∴y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值是-1．

（2）∵直線y=k（x-1）-

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，
∴方程組：

y=k(x-1)- k2 4 y=ax2+bx+c

只有一組解，
∴ax²+（b-k）x+

k2

4

+k+c=0有相等的實數解，
∴△=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0
∵對于k為任何實數，上式恒成立，
∴

1-a=0 -2(2a+b)=0 b2-4ac=0

，
∴a=1，b=-2，c=1．

點評：此題考查了二次函數的性質、一元二次方程根的情況、判別式的知識以及方程組的解法等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意把函數交點問題轉化成一元二次方程根的問題是解此題的關鍵．