Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)AE．

證明：（1）BF=DF．

（2）AE//BD．

（3）若AB=6，BC=8，求AF的長(zhǎng),并求△FBD的周長(zhǎng)和面積。

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）AF=周長(zhǎng)為22.5；面積為： .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證得∠DBC=∠ADB，根據(jù)等腰三角形的判定即可得BF=DF；（2）先證AF=EF，即可得∠AEF=∠EAF，再證∠AEF=∠FBD，即可判定AE//BD；（3）設(shè)AF=x，則DF=BF=8-x，在RtΔABF中，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得x的值；在RtΔBDC中，根據(jù)勾股定理得BD的長(zhǎng)，即可求得△FBD的周長(zhǎng)和面積.

試題解析：

（1）矩形ABCD得出AD//BC，∴∠ADB=∠FDB根據(jù)對(duì)折得，∠FDB=∠DBC

∴∠DBC=∠ADB ∴BF=DF（等邊對(duì)等角）

（2）∵AD=BC=BE，BF=DF

∴AD-DF=BE-BF 即AF=EF

∴∠AEF=∠EAF

又∵∠AEF+∠EAF=∠ADB+∠FBD

∴∠AEF=∠FBD

∴AE//BD

（3）設(shè)AF=x，則DF=BF=8-x

在RtΔABF中，AF2+AB2=BF2 即62+x2=（8-x）2 解得x=.

在RtΔBDC中，根據(jù)勾股定理得：BD=10，

所以，三角形FBD的周長(zhǎng)為10+2FD=10+=22.5

三角形FBD的面積為S=×6×=