【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4,點(diǎn)P沿線段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),設(shè)AP=x.
(1)求AD的長(zhǎng);
(2)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為S1、S2,若S=S1+S2,求S的最小值.
【答案】(1)2.(2)存在,2.(3)π.
【解析】
試題分析:(1)過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,根據(jù)CE=BCsin∠B求出CE,再根據(jù)AD=CE即可求出AD;
(2)若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似,則△PCB必有一個(gè)角是直角.分兩種情況討論:①當(dāng)∠PCB=90°時(shí),求出AP,再根據(jù)在Rt△ADP中∠DPA=60°,得出∠DPA=∠B,從而得到△ADP∽△CPB,②當(dāng)∠CPB=90°時(shí),求出AP=3,根據(jù)且,得出△PCB與△ADP不相似.
(3)先求出S1=π,再分兩種情況討論:
①當(dāng)2<x<10時(shí),作BC的垂直平分線交BC于H,交AB于G;作PB的垂直平分線交PB于N,交GH于M,連結(jié)BM,在Rt△GBH中求出BG、BN、GN,在Rt△GMN中,求出MN=,在Rt△BMN中,求出BM2=,最后根據(jù)S1=πBM2代入計(jì)算即可.
②當(dāng)0<x≤2時(shí),S2=π(),最后根據(jù)S=S1+S2=ππ即可得出S的最小值.
試題解析:(1)過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,
在Rt△BCE中,
∵∠B=60°,BC=4,
∴CE=BCsin∠B=4×=2,
∴AD=CE=2.
(2)存在.若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似,
則△PCB必有一個(gè)角是直角.
①當(dāng)∠PCB=90°時(shí),在Rt△PCB中,BC=4,∠B=60°,PB=8,
∴AP=AB-PB=2.
又由(1)知AD=2,在Rt△ADP中,tan∠DPA==,
∴∠DPA=60°,
∴∠DPA=∠CPB,
∴△ADP∽△CPB,
∴存在△ADP與△CPB相似,此時(shí)x=2.
②∵當(dāng)∠CPB=90°時(shí),在Rt△PCB中,∠B=60°,BC=4,
∴PB=2,PC=2,
∴AP=8.
則且,此時(shí)△PCB與△ADP不相似.1
(3)如圖,因?yàn)镽t△ADP外接圓的直徑為斜邊PD,則S1=π()2=π,
①當(dāng)2<x<10時(shí),作BC的垂直平分線交BC于H,交AB于G;
作PB的垂直平分線交PB于N,交GH于M,連結(jié)BM.則BM為△PCB外接圓的半徑.
在Rt△GBH中,BH=BC=2,∠MGB=30°,
∴BG=4,
∵BN=PB=(10-x)=5-x,
∴GN=BG-BN=x-1.
在Rt△GMN中,∴MN=GNtan∠MGN=.
在Rt△BMN中,BM2=MN2+BN2=,
∴S2=πBM2=π().
②∵當(dāng)0<x≤2時(shí),S2=π()也成立,
∴S=S1+S2=π+π()=ππ.
∴當(dāng)x=時(shí),S=S1+S2取得最小值π.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
小昊遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,BE是AC邊上的中線,點(diǎn)D在BC邊上,CD:BD=1:2,AD與BE相交于點(diǎn)P,求的值.
小昊發(fā)現(xiàn),過點(diǎn)A作AF∥BC,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,通過構(gòu)造△AEF,經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決(如圖2).請(qǐng)回答:的值為 .
參考小昊思考問題的方法,解決問題:
如圖 3,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,AD與AC邊上的中線BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,DC:BC:AC=1:2:3 .
(1)求的值;
(2)若CD=2,則BP=__________.
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【題目】請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)一個(gè)水瓶與一個(gè)水杯分別是多少元?
(2)甲、乙兩家商場(chǎng)同時(shí)出售同樣的水瓶和水杯,為了迎接新年,兩家商場(chǎng)都在搞促銷活動(dòng),甲商場(chǎng)規(guī)定:這兩種商品都打八折;乙商場(chǎng)規(guī)定:買一個(gè)水瓶贈(zèng)送兩個(gè)水杯,另外購買的水杯按原價(jià)賣.若某單位想要買5個(gè)水瓶和20個(gè)水杯,請(qǐng)問選擇哪家商場(chǎng)購買更合算,并說明理由.(必須在同一家購買)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線x=﹣4與x軸交于點(diǎn)E,一開口向上的拋物線過原點(diǎn)交線段OE于點(diǎn)A,交直線x=﹣4于點(diǎn)B,過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)C,直線OC交直線AB于D,且AD:BD=1:3.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)若△OBC是等腰三角形,求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式.
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【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片,A種紙片邊長(zhǎng)為a的正方形,B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形,C種紙片長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形.并用A種紙片一張,B種紙片張,C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.
(1)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.
方法1: ;方法2:
(2)觀察圖2,請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式:(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系.
(3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:
①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;
②已知(2018﹣a)2+(a﹣2017)2=5,求(2018﹣a)(a﹣2017)的值.
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【題目】如圖,AB是⊙O的一條弦,E是AB的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EC⊥OA于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作⊙O的切線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)求證:DB=DE;
(2)若AB=12,BD=5,求⊙O的半徑.
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【題目】當(dāng)a、b、c為何值時(shí),代數(shù)式有最小值?并求出這個(gè)最小值和此時(shí)以a、b、c值為邊的三角形的面積.
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【題目】已知,∠AOB . 求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB . 作法:
①以________為圓心,________為半徑畫弧.分別交OA , OB于點(diǎn)C , D .
②畫一條射線O′A′,以________為圓心,________長(zhǎng)為半徑畫弧,交O′A′于點(diǎn)C′,
③以點(diǎn)________為圓心________長(zhǎng)為半徑畫弧,與第2步中所畫的弧交于點(diǎn)D′.
④過點(diǎn)________畫射線O′B′,則∠A′O′B′=∠AOB .
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【題目】觀察下列圖形的變化過程,解答以下問題:
如圖,在△ABC中,D為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)(D點(diǎn)不與B、C兩點(diǎn)重合).DE∥AC交AB于E點(diǎn),DF∥AB交AC于F點(diǎn).
(小題1)試探索AD滿足什么條件時(shí),四邊形AEDF為菱形,并說明理由;
(小題2)在(1)的條件下,△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AEDF為正方形?為什么?
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