Question

已知拋物線經過三點A（4，3），B（x₁，0），C（x₂，0），且x₁、x₂是方程x²-6x-3+17=0的兩根．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線y=2x+h與該拋物線相交于兩點M（m，y₁）、N（n，y₂），m、n滿足關系式m²+n²=12，求這條直線的解析式．

Answer 1

解：（1）設y=則無理方程變?yōu)閥²-3y-4=0．
解得y=4，y=-1（舍去）；
∴4=，化簡得x²-6x+5=0．
∴A、B兩點的坐標為（1，0）和（5，0）．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．依題意，得：
，
解得；
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+6x-5．

（2）由題意知：-x²+6x-5=2x+h．
即x²-4x+5+h=0；
∴m+n=4，m•n=5+h；
又m²+n²=12
∴（m+n）²-2mn=12，
即4²-2（5+h）=12．
解得h=-3；
當h=-3時，△=（-4）²-4×1×2＞0成立．
∴直線的解析式為y=2x-3．
分析：（1）求拋物線解析式的關鍵是確定B、C兩點的坐標，可通過解方程求出x₁，x₂的值來得出B、C的坐標（可先將無理方程通過去根號轉換為有理方程，然后再進行求解），得出B、C坐標后，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）直線與拋物線有交點，那么可聯(lián)立兩函數(shù)式，可得出一個關于x的一元二次方程，兩函數(shù)交點的橫坐標即為此方程的根，根據一元二次方程根與系數(shù)的關系及m²+n²=12，即可求出拋物線的解析式．
點評：本題主要考查了無理方程的解法、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的交點、一元二次方程根與系數(shù)的關系等知識點．