如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,將正方形置于平面直角坐標(biāo)系xOy中,使AB在x軸的負(fù)半軸上,A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,0).
(1)若經(jīng)過點(diǎn)C的直線y=-
125
x-8
與x軸交于點(diǎn)E,求四邊形AECD的面積;
(2)是否存在經(jīng)過點(diǎn)E的直線l將正方ABCD分成面積相等的兩部分?若存在,求出直線l的解析式;若不存在,請說明理由.
分析:(1)先根據(jù)正方形ABCD的邊長為4,A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,0)求出B點(diǎn)坐標(biāo),再把y=0代入直線y=-
12
5
x-8
即可求出x的值,故可得出E點(diǎn)坐標(biāo),由梯形的面積公式即可求出四邊形AECD的面積;
(2)連接BD,求出BD的中點(diǎn)F的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式即可.
解答:解:(1)∵正方形ABCD的邊長為4,A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,0),
∴B(-5,0),
∵當(dāng)y=0時(shí),-
12
5
x-8=0,解得x=-
10
3

∴E(-
10
3
,0),
∴AE=|-
10
3
+1|=
7
3
,
∴S四邊形AECD=
1
2
(CD+AE)×AD=
1
2
×(4+
7
3
)×4=
38
3
;

(2)存在經(jīng)過點(diǎn)E的直線l將正方ABCD分成面積相等的兩部分.理由如下:
連接BD,設(shè)BD的中點(diǎn)為F,連接EF,
∵B(-5,0),D(-1,4),
∴F(-3,2),
∵經(jīng)過正方形中心的直線將正方形分成面積相等的兩部分,
∴經(jīng)過點(diǎn)E、F的直線將正方ABCD分成面積相等的兩部分,
設(shè)直線EF的解析式是y=kx+b(k≠0).
又∵E(-
10
3
,0),
2=-3k+b
0=-
10
3
k+b
,
解得,
k=6
b=20

∴直線l的解析式是y=6x+20.
點(diǎn)評:本題考查了梯形的面積公式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn).注意,設(shè)直線方程y=kx+b時(shí),不要忘記k≠0這一條件.
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(1)請畫出旋轉(zhuǎn)中心G (保留畫圖痕跡),并連接GF,GE;
(2)若正方形的邊長為2a,當(dāng)CE=
a
a
時(shí),S△FGE=S△FBE;當(dāng)CE=
2a+
2
a
2
或EC=
2a-
2
a
2
2a+
2
a
2
或EC=
2a-
2
a
2
 時(shí),S△FGE=3S△FBE

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