Question

【題目】（感知）如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易證：△DAP∽△PBC（不要求證明）．

（探究）如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．

（1）求證：△DAP～△PBC．

（2）若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的長(zhǎng)．

（應(yīng)用）如圖③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作∠CPE＝∠A，PE與邊BC交于點(diǎn)E．當(dāng)CE＝3EB時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】【探究】（1）證明見(jiàn)解析（2）AP＝4.5；【應(yīng)用】AP＝3+或AP＝3﹣

【解析】

探究：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠DPB＝∠A+∠ADP，等量代換得到∠ADP＝∠CPB，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

應(yīng)用：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ACBE＝APBP，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

探究：（1）∵∠DPB＝∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP，

∵∠A＝∠DPC，

∴∠ADP＝∠CPB，

∵∠A＝∠B，

∴△DAP∽△PBC；

（2）∵△DAP∽△PBC，

∴，

∴，

∴AP＝4.5；

應(yīng)用：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

∵∠CPE＝∠A，

∴∠A＝∠CPE＝∠B，

由探究得△CAP∽△PBE，

∴，

∴ACBE＝APBP，

∵BC＝4，CE＝3EB，

∴BE＝1，

∵AC＝4，BP＝AB﹣AP＝6﹣AP，

∴AP（6﹣AP）＝4，

∴AP＝3+或AP＝3﹣．