Question

如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD．

（1）點C的坐標是　   　，線段AD的長等于　   　；
（2）點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x²+bx+c經過點G，M，求拋物線的解析式；
（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）（0，3）；4。
（2）
（3）拋物線上存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形。

試題分析：（1）首先求出圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B的坐標，進而得出C點坐標以及線段AD的長：
∵與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴y=0時，x=﹣3，x=0時，y=1。
∴A點坐標為：（﹣3，0），B點坐標為：（0，1）。
∴OC=3，DO=1。
∴點C的坐標是（0，3），線段AD的長等于4。
（2）首先得出點M是CD的中點，即可得出M點坐標，進而利用待定系數法求二次函數解析式。
∵CM=OM，∴∠OCM=∠COM。
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，∴∠ODM=∠MOD。∴OM=MD=CM。
∴點M是CD的中點，∴點M的坐標為（，）。
∵拋物線y=x²+bx+c經過點C，M，
∴，解得：。
∴拋物線y=x²+bx+c的解析式為：。
（3）分別根據當點F在點C的左邊時以及當點F在點C的右邊時，分析四邊形CFPE為菱形得出即可。
情形1：如圖1，當點F在點C的左邊時，四邊形CFEP為菱形，

∴∠FCE=PCE。
由題意可知，OA=OC，∴∠ACO=∠PCE=45°。
∴∠FCP=90°�！嗔庑蜟FEP為正方形。
過點P作PH⊥CE，垂足為H，
則Rt△CHP為等腰直角三角形。
∴CP=CH=PH。
設點P為（x，），則OH=，PH=x，
∵PH=CH=OC﹣OH，∴，解得：x₁=， x₂=0（舍去）。
∴CP=CH=。
∴菱形CFEP的周長l為：。
情形2：如圖2，當點F在點C的右邊時，四邊形CFPE為菱形，

∴CF=PF，CE∥FP。
∵直線AC過點A（﹣3，0），點C（0，3），
∴直線AC的解析式為：y=x+3。
過點C作CM⊥PF，垂足為M，
則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM=FM。
延長PF交x軸于點N，則PN⊥x軸，
∴PF=FN﹣PN。
設點P為（x，），則點F為（x，x+3），
∴。
∴，解得：，x₂=0（舍去）。
∴。
∴菱形CFEP的周長l為：）。
綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長為或。