Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是∠ACB的平分線，過A，C，D三點的圓與斜邊BC交于點E，連接DE．
（1）求證：AC=EC；
（2）若AC=，△ACD外接圓的半徑為1，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠DEC=∠BAC=90°，
又∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=∠ECD．
∴∠ADC=∠EDC．
∴．
∴AC=EC．

（2）解：∵∠BAC=90°，CD=2，AC=，
∴AD=1．
∴∠ACD=∠ECD=30°，
∴∠ACB=60°．
在Rt△ABC中，AB=AC•tan60°=3，
又∵AC=，
∴S_△ABC=×3×=．
分析：（1）可通過證∠ADC=∠EDC，根據(jù)等弧所對的圓周角與弦相等，來得出AC=EC，已知了CD平分∠ACE，那么∠ACD=∠ECD，由于CD是直徑，因此∠DAC=∠DEC=90°，那么通過等角的余角相等即可得∠ADC=∠EDC．也就得出了弧AC=弧CE，進(jìn)而可得出AC=EC的結(jié)論．
（2）可先在直角三角形ACD中，根據(jù)AC和CD的長，用余弦函數(shù)求出∠ACD的度數(shù)，也就求出了∠ACB的度數(shù)，可在直角三角形ABC中，根據(jù)正切函數(shù)求出AB的長，有了兩直角邊的長，三角形ABC的面積也就求出來了．
點評：本題主要考查了等弧所對的圓周角和弦的關(guān)系以及解直角三角形等知識點．