Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開(kāi)始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，在移動(dòng)過(guò)程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過(guò)點(diǎn)A作CG的平行線(xiàn)交線(xiàn)段GH于點(diǎn)P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長(zhǎng)分別為4cm，3cm，設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s），線(xiàn)段GP的長(zhǎng)為y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)y=3時(shí)相應(yīng)x的值；
（2）記△DGP的面積為S1 ， △CDG的面積為S2 ． 試說(shuō)明S1﹣S2是常數(shù)；
（3）當(dāng)線(xiàn)段PD所在直線(xiàn)與正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC垂直時(shí)，求線(xiàn)段PD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CG∥AP，

∴∠CGD=∠GAP，

又∵∠CDG=∠AGP，

∴△GCD∽△APG，

∴ ，

∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，

∴GD=3﹣x，AG=4﹣x，

∴ = ，即y= ，

∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y= ，

當(dāng)y=3時(shí)， =3，解得x=2.5，

經(jīng)檢驗(yàn)的x=2.5是分式方程的根．

故x的值為2.5

（2）解：∵S1= GPGD= （3﹣x）= （cm2），

S2= GDCD= （3﹣x）×1= （cm2），

∴S1﹣S2= ﹣ = （cm2），即為常數(shù)

（3）解：延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)Q．

∵正方形ABCD中，AC為對(duì)角線(xiàn)，

∴∠CAD=45°，

∵PQ⊥AC，

∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°．

∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，

∴3﹣x= ，

化簡(jiǎn)得：x2﹣5x+5=0．

解得：x= ，

∵0≤x≤2.5，

∴x= ，

在Rt△DGP中，PD= = （3﹣x）= （cm）

【解析】（1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長(zhǎng)度，再由△GCD∽△APG，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可解出x的值．（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S ， 然后作差即可．（3）延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x(chóng)的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線(xiàn)相等．