Question

已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，拋物線y=x²-2ax+b²交x軸于M，N兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，其中點(diǎn)M坐標(biāo)為（a+c，0）
（1）求證b²+c²=a²；
（2）△NMP的面積是△NOP的面積的3倍，求的值；
（3）是否存在這樣的正實(shí)數(shù)a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）把x=a+c，y=0代入y=x²-2ax+b²，
得（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，
整理，得b²+c²=a²；

（2）∵拋物線y=x²-2ax+b²的對(duì)稱軸是x=a，
∴拋物線y=x²-2ax+b²與x軸的交點(diǎn)M，N一定關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，a-c
∵點(diǎn)M坐標(biāo)為（a+c，0），
∴N的坐標(biāo)是（a-c，0）．
拋物線y=x²-2ax+b²中，令x=0，解得y=b²，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，b²）．
∵△NMP的面積是MN×OP=×2c×b²=b²c，
△NOP的面積是×ON×OP=|a-c|×b²，
又∵△NMP的面積是△NOP的面積的3倍，
∴b²c=3×|a-c|×b²，
∴2c=3|a-c|，
∵b²+c²=a²，a、b、c是正實(shí)數(shù)，
∴a＞c，
∴2c=3（a-c），即3a=5c，
設(shè)a=5k，則c=3k，
根據(jù)b²+c²=a²，得到b=4k，
∴==；

（3）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°．
則有：，
解得．
故存在正實(shí)數(shù)a，b，c，能夠使得∠OPN=∠NMP=30°．
分析：（1）拋物線y=x²-2ax+b²經(jīng)過點(diǎn)（a+c，0）．因而把x=a+c，y=0代入就可以得到（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，整理得到b²+c²=a²；
（2）已知拋物線的解析式，就可以求出對(duì)稱軸，可求N、P的坐標(biāo)，從而△NMP的面積和△NOP的面積可求，再根據(jù)△NMP的面積是△NOP的面積的3倍，可得2c=3|a-c|，即3a=5c，則的值易求；
（3）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°，則在直角△OPN中，由tan∠OPN=，得出=①，同理，在直角△OPM中，由tan∠NMP=，得出=②，又由（1）可知b²+c²=a²③，①②③聯(lián)立，得到方程組，解此方程組即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，三角函數(shù)等知識(shí)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想與方程思想是解決本題的關(guān)鍵．