Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F．
（1）求證：FD²=FB•FC；
（2）若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求證：FD²=FB•FC，只要證明△FBD∽△FDC，從而轉化為證明∠FDC=∠FBD；
（2）要證DG⊥EF，只要證明∠5+∠1=90°，轉化為證明∴∠3=∠4即可．
解答：（1）證明：∵E是Rt△ACD斜邊中點，
∴DE=EA，
∴∠A=∠2，（1分）
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠A，（2分）
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A，
∴∠FDC=∠FBD，
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC．（4分）
∴．
∴FD²=FB•FC．（6分）

（2）GD⊥EF．（7分）
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，
∴DG=GC．
∴∠3=∠4．
由（1）得∵△FBD∽△FDC，
∴∠4=∠1，
∴∠3=∠1．（9分）
∵∠3+∠5=90°，
∴∠5+∠1=90°．
∴DG⊥EF．（10分）
點評：證明線段的積相等可以轉化為證明三角形相似，證明兩直線垂直轉化為證明形成的角是直角．