Question

已知定點F（0，-2），動點P（x，y）到F點的距離與它到x軸的距離相等．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若（1）中的函數(shù)圖象與過F點的直線y=kx+b交于A、B兩點，
ⅰ請用k表示線段AB的長；
ⅱ以AB為弦的圓與y軸交于M（0，-4+2）、N（0，-4-2）兩點，求此時直線y=kx+b的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P作PH⊥x軸于H，則PF=PH，然后表示出PF和PH得到=|y|，兩邊平方即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（這里y₁＜0，y₂＜0），根據(jù)直線過F（0，-2），設(shè)出直線解析式為y=kx-2，與求得的函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立即可得到y(tǒng)²+4（1+k²）y+4（k²+1）=0，再根據(jù)AB=AF+FB即可表示出AB．
解答：解：（1）過P作PH⊥x軸于H，則PF=PH．
∴=|y|
∴y=-x²-1；（5分）

（2）ⅰ設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（這里y₁＜0，y₂＜0）
∵直線過F（0，-2）
∴直線為y=kx-2
由得y²+4（1+k²）y+4（k²+1）=0（6分）
A、B在拋物線上，由已知條件知：AB=AF+FB
∴AB=|y₁|+|y₂|=-（y₁+y₂）=4（k²+1）（10分）
ⅱ由相交弦定理
AF•FB=FM•FN（11分）
又∵AF•FB=|y₁y₂|
∴4（k²+1）=8（12分）
∴k=±1
即直線方程為y=±x-2．（13分）
點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識，解題的關(guān)鍵是用點的坐標(biāo)表示出線段的長．