Question

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A，B兩點(diǎn)，OM為⊙O₁的切線，切點(diǎn)為M，圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）求出圖中陰影部分的面積．
（3）求切線OM的函數(shù)解析式．
（4）線段OM上是否存在一點(diǎn)P，使得以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形與△OO₁M相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由O點(diǎn)坐標(biāo)及圓的半徑，可知A（1，0），B（3，0），利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式；
（2）由切線的性質(zhì)可知△OO₁M直角三角形，又O₁M=1，O₁O=2，可知∠O₁OM=30°，則∠OO₁M=60°，利用扇形面積公式求圖中陰影部分面積；
（3）過點(diǎn)M作MC⊥OB，垂足為C，解Rt△OO₁M求OM，解Rt△OCM求OC，MC，確定M點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線OM解析式為y=kx，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入求切線OM的函數(shù)解析式；
（4）存在，過A點(diǎn)分別作P₁A⊥OB，P₂A⊥OM，垂足為P₂，解Rt△OAP₁求OA，AP₁，確定P₁的坐標(biāo)，利用AP₂為△OO₁M中位線確定P₂的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵O₁的坐標(biāo)為（2，0），O₁A=O₁B=1，
∴A（1，0），B（3，0），
∴拋物線解析式為：y=-（x-1）（x-3），即y=-x²+4x-3；

（2）∵OM為⊙O₁的切線，切點(diǎn)為M，
∴△OO₁M直角三角形，
又∵O₁M=1，O₁O=2，
∴∠O₁OM=30°，
則∠OO₁M=60°，
∴S_陰影部分=

60•π•12

360

=

π

6

；

（3）如圖，過點(diǎn)M作MC⊥OB，垂足為C，
在Rt△OO₁M中，∠O₁OM=30°，OM=

3

，O₁M=1，
在Rt△OCM中，∠O₁OM=30°，則OC=OMcos30°=

3

2

，MC=OMsin30°=

3

2

，
則M（

3

2

，

3

2

），
設(shè)直線OM解析式為y=kx，則

3

2

=

3

2

k，解得k=

3

3

，
所以，切線OM的函數(shù)解析式為y=

3

3

x；

（4）存在，
如圖，過A點(diǎn)作P₁A⊥OB交OM于P₁，作P₂A⊥OM，垂足為P₂，
在Rt△OAP₁中，OA=1，AP₁=OAtan30°=

3

3

，此時(shí)P₁（1，

3

3

），
∵AP₂△OO₁M中位線，∴P₂（

3

4

，

3

4

），
∴所求P點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，

3

3

）或（

3

4

，

3

4

）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)圓的性質(zhì)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，確定拋物線解析式，根據(jù)三角形為特殊的直角三角形，解直角三角形求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．