如圖,已知⊙O的半徑為6cm,射線PM經(jīng)過點O,OP=10cm,射線PN與⊙O相切于點Q.A,B兩點同時從點P出發(fā),點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動,點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運動.設(shè)運動時間為ts.
(1)求PQ的長;
(2)當t為何值時,直線AB與⊙O相切?
(1)連接OQ,
∵PN與⊙O相切于點Q,∴OQ⊥PN,即∠OQP=90°.
∵OP=10,OQ=6,∴PQ==8(cm).
(2)過點O作OC⊥AB,垂足為C.
∵點A的運動速度為5cm/s,點B的運動速度為4cm/s,運動時間為ts,
∴PA=5t,PB=4t.
∵PO=10,PQ=8,∴.
∵∠P=∠P,∴△PAB∽△POQ.∴∠PBA=∠PQO=90°.
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,∴四邊形OCBQ為矩形.∴BQ=OC.
∵⊙O的半徑為6,∴BQ=OC=6時,直線AB與⊙O相切.
①當AB運動到如圖1所示的位置,BQ=PQ-PB=8-4t,
∵BQ=6,∴8-4t=6.∴t=0.5(s).
②當AB運動到如圖2所示的位置,BQ=PB﹣PQ=4t-8,
∵BQ=6,∴4t-8=6.∴t=3.5(s).
∴當t為0.5s或3.5s時直線AB與⊙O相切.
【解析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OQP=90°,在直角△OPQ中根據(jù)勾股定理就可以求出PQ的值;(2)過點O作OC⊥AB,垂足為C.直線AB與⊙O相切,則△PAB∽△POQ,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,就可以求出t的值.
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