Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-4a經過A（-1，0）、C（0，4）兩點，x與軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點的坐標；
（3）點P為第一象限拋物線上一點，是否存在使△PBC面積最大的點P？若不存在，請說明理由；若存在，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A、C的坐標代入拋物線的解析式中，然后解方程組即可．
（2）首先由（1）的拋物線解析式確定點D的坐標，此時可以看出CD平行于x軸，由于OB=OC，即△OCB是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠DCB=45°，因此點D關于直線BC的對稱點恰好在y軸上，將點C向下平移CD長個單位就能求出這個對稱點的坐標．
（3）利用待定系數法先求出直線BC的解析式，然后過點P作y軸的平行線，交直線BC于點Q，用未知數設出點P、Q的坐標，即可得到線段PQ的長度表達式，以PQ為底、OB為高，即可得到△PBC的面積函數關系式，根據函數的性質即可求出△PBC的面積最大時，點P的坐標．
解答：解：（1）依題意，有：
，解得
∴拋物線的解析式：y=-x²+3x+4．

（2）將點D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得：
-m²+3m+4=m+1，化簡，得：m²-2m-3=0
解得：m₁=-1（舍），m₂=3；
∴D（3，4），因此CD∥x軸；
由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：
∠OCB=∠DCB=45°；
設點D關于直線BC的對稱點為點E，則點E在y軸上，且CD=CE=3，OE=OC-CE=1，則：
點D關于直線BC的對稱點的坐標為（0，1）．

（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直線BC：y=-x+4；
過點P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設P（x，-x²+3x+4），則Q（x，-x+4）；
∴PQ=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x；
S_△PCB=PQ•OB=×（-x²+4x）×4=-2（x-2）²+8；
所以，當P（2，6）時，△PCB的面積最大．
點評：此題考查的內容在二次函數綜合題中較為常見，主要涉及了：二次函數解析式的確定、軸對稱圖形的性質、三角形面積的解法、二次函數的應用等基礎知識；（2）題中，判斷出CD與x軸平行以及△OBC的特殊形狀是突破題目的關鍵．