Question

已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在二次函數y=x²+mx+n的圖象上，當x₁=1，x₂=3時，y₁=y₂．

（1）①求m的值；②若拋物線與x軸只有一個公共點，求n的值；

（2）若P（a，b₁），Q（3，b₂）是函數圖象上的兩點，且b₁＞b₂，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數圖象上點的坐標特征．

【專題】計算題．

【分析】（1）①利用當x₁=1，x₂=3時函數值相等得到1+m+n=9+3m+n，然后解關于m的方程即可得到m的值；

②根據△=b²﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點得到16﹣4n=0，然后解關于n的方程即可；

（2）討論：當P（a，b₁），Q（3，b₂）在對稱軸的右側，利用二次函數的性質易得a＞3時，b₁＞b₂；當P（a，b₁），Q（3，b₂）在對稱軸的兩側，通過比較兩點到對稱軸的距離的大小可判斷a＜1時，b₁＞b₂．

【解答】解：（1）①∵x₁=1，x₂=3時，y₁=y₂，

∴1+m+n=9+3m+n，

∴m=﹣4；

②∵拋物線與x軸只有一個公共點，

∴△=m²﹣4n=0，即16﹣4n=0，

∴n=4；

（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴當P（a，b₁），Q（3，b₂）在對稱軸的右側，則a＞3時，b₁＞b₂；

當P（a，b₁），Q（3，b₂）在對稱軸的兩側，而當x₁=1，x₂=3時，y₁=y₂，則a＜1時，b₁＞b₂．

∴實數a的取值范圍為a＜1或a＞3．

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．對于二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），△=b²﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b²﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了分類討論思想的運用．