Question

如圖，在一張長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＜AD，點(diǎn)E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，使點(diǎn)B落在線段EF上的點(diǎn)G處，折痕AK交EF于H，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有
①∠DAG=30°；②△GHK是正三角形；③GH=2EH；④FG=EH．

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AG=AB，∠BAK=∠GAK，∠AGK=∠B=90°，則點(diǎn)E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，AE=AB=AE，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠AGE=30°，則∠DAG=30°；再計(jì)算∠GAB=90°-∠DAG=60°，則∠BAK=∠GAK=30°，于是可得到∠GHK=∠GAH+∠AGH=30°+30°=60°，∠HGK=90°-∠AGH=90°-30°=60°，可判斷
△GHK為正三角形；在Rt△AEH中得到AH=2EH，則HA=HG=2EH；在Rt△AEH中，∠HAE=30°，則AE=EH，而AE與FG的大小不能確定，則可判斷④錯(cuò)誤．
解答：∵△ABK沿AK折疊后與△AGK重合，
∴AG=AB，∠BAK=∠GAK，∠AGK=∠B=90°，
∵點(diǎn)E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，
∴AE=AB，
在Rt△AGE中，AE=AG，則∠AGE=30°，
∴∠DAG=30°，所以①正確；
∵∠GAB=90°-∠DAG=60°，
∴∠BAK=∠GAK=30°，
∴∠GHK=∠GAH+∠AGH=30°+30°=60°，
∵∠HGK=90°-∠AGH=90°-30°=60°，
∴△GHK為正三角形；所以②正確；
在Rt△AEH中，∠HAE=30°，
∴AH=2EH，
∵∠AGH=30°，∠GAH=30°，
∴HA=HG，
∴HG=2EH，所以③正確；
在Rt△AEH中，∠HAE=30°，
∴AE=EH，
而AB＜AD，AE=AB
∴AE與FG的大小不能確定，所以④錯(cuò)誤．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分．也考查了等邊三角形的判定以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．