Question

已知：如圖，AD∥BC，AB=CD，對角線CA平分∠BCD，AD=5，tanB=

3

4

，求BC的長．

Answer 1

分析：作梯形的兩條高，構(gòu)造了一個矩形和兩個直角三角形．根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到等腰三角形ACD，即CD=AD=5．再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念得到AE：BE，結(jié)合勾股定理得到BE：AB=3：5，從而求得BE的長，再進一步計算出CF和EF的長．

解答：解：過點A作AE⊥BC，垂足為E，過點D作DF⊥BC，垂足為F，如下圖所示，
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AD=DC．∵AD=5，AB=DC，
∴AD=DC=AB=5．
過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F．
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，
tanB=

AE

BE

=

3

4

．
設(shè)AE=3x，則BE=4x．
∵AB=5，
∴（3x）²+（4x）²=5²．
∴x=1（負值舍去）．
∴AE=3，BE=4．同理可得FC=4．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∴EF=AD=5．
∴BC=13．

點評：本題考查解直角三角形的知識，注意掌握作兩高也是梯形中常見的輔助線之一．能夠發(fā)現(xiàn)等腰三角形，運用銳角三角函數(shù)的知識得到邊之間的關(guān)系，從而求得該梯形的下底．