Question

拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（-1，2），與x軸的一個交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：

①b2-4ac＜0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根．

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

Answer 1

C.

【解析】

試題分析：由拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)得到b2-4ac＞0；有拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，則根據(jù)拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，所以當(dāng)x=1時，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，2）得a-b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=-=-1得b=2a，所以c-a=2；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題，當(dāng)x=-1時，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=-1時，ax2+bx+c=2，所以說方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根．

試題解析：∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，

∴b2-4ac＞0，所以①錯誤；

∵頂點(diǎn)為D（-1，2），

∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，

∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，

∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，

∴當(dāng)x=1時，y＜0，

∴a+b+c＜0，所以②正確；

∵拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，2），

∴a-b+c=2，

∵拋物線的對稱軸為直線x=-=-1，

∴b=2a，

∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正確；

∵當(dāng)x=-1時，二次函數(shù)有最大值為2，

即只有x=-1時，ax2+bx+c=2，

∴方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確．

故選：C．

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點(diǎn)．