Question

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=9O°，AD、BE、CF是△ABC的三條內(nèi)角平分線．那么，△DEF的面積等于________．

Answer 1

分析：過F點(diǎn)作FQ⊥AC，過E點(diǎn)⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，過D點(diǎn)作DH⊥AC．求證四邊形NBME是正方形，設(shè)NE=x₁，根據(jù)S_{四邊形NBME}+S_△ANE+S_△CEM=S_△ABC，解得x₁=；設(shè)BF=x₂．根據(jù)S_△AFQ+2S_△BFC=S_△ABC，解得x₂=，同理解得，x₃=，然后利用∴S_△DEF=S_△ABC-S_△AEF-S_△BFD-S_△CDE，將所得數(shù)值代入即可．
解答：解：過F點(diǎn)作FQ⊥AC，過E點(diǎn)⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，過D點(diǎn)作DH⊥AC．
設(shè)NE=x₁，
∵BE平分∠B，且∠B=9O°，
∴四邊形NBME是正方形，
則S_{四邊形NBME}+S_△ANE+S_△CEM=S_△ABC，
則x₁²+x₁（4-x₁）+x₁（3-x₁）=×12，
解得，x₁=；
設(shè)BF=x₂．根據(jù)CF是∠C平分線，可得△QFC≌△BFC，
則S_△AFQ+2S_△BFC=S_△ABC，
則x₂×1+2（x₂×4）=×12，
解得，x₂=，
則AF=AB-x₂=；
設(shè)BD=x₃，
同理解得，x₃=，
則CD=4-=，
∴S_△DEF=S_△ABC-S_△AEF-S_△BFD-S_△CDE
=AB•BC-AF•NE-BF•FD-CD•EM
=6-（×）-（×）-（×）
=．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生對角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題涉及到的知識點(diǎn)較多，需要做多條輔助線，計(jì)算步驟繁瑣，要特別仔細(xì)認(rèn)真，稍有疏忽就出錯(cuò)，屬于難題．