Question

已知：正方形中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點．當繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．

（1）當繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．

（2）當繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）BM+DN=MN成立；（2）DN-BM=MN．

【解析】

試題分析：（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．

（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類似．

試題解析：（1）BM+DN=MN成立．

證明：如圖，把△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，

得到△ABE，則可證得E、B、M三點共線（圖形畫正確）．

∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，

又∵∠NAM=45°，

∴在△AEM與△ANM中，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME=MN，

∵ME=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．

在線段DN上截取DQ=BM，

在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），

∴MN=QN，

∴DN-BM=MN．

考點：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.正方形的性質(zhì)．