Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BD=3，CD=8
（1）若AB：AC=2：3，求AD的長；
（2）若∠CAD=2∠BAD，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）在直角△ABD與直角△ADC中，根據(jù)勾股定理知AB²-BD²=AC²-CD²=AD²，據(jù)此可以求得AD的長度；
（2）作∠DAC的平分線交BC于點E，作EF⊥AC于點F．易證△ADB≌△ADE≌△AFE，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等推知BD=DE=EF=3，AD=AF，設AD=AF=y，則在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得AD的長度．

解答：解：（1）設AB=2x，AC=3x．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AB²-BD²=AC²-CD²=AD²，
∴4x²-3²=9x²-8²
解得，x=

11

或x=-

11

（舍去），
∴AC=3

11

∴AD=（3

11

）²-8²=35
則AD=

35

；

（2）如圖，作∠DAC的平分線交BC于點E，作EF⊥AC于點F．則∠BAD=∠DAE=∠EAF．
易證△ADB≌△ADE≌△AFE，
∴BD=DE=EF=3，AD=AF．
∵EC=CD-DE=5，
∴FC=

52-32

=4，
設AD=AF=y，則在Rt△ACD中，x²+8²=（x+4）²，
解得，x=6，
∴AD=6．

點評：本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．注意，勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．