Question

已知在菱形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，且AG平分∠FAB．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)F在邊DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，試說明：AF=BC-CF；
（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求∠B的度數(shù)，并說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)F在邊DC上時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)直接寫出成立的結(jié)論；
（4）當(dāng)∠B=90°時(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）先由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD，由全等三角形的判定定理可知△ABE≌△GCE，AF=GF，進(jìn)而可求出答案；
（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，可得BC=AB=CG=AC，即△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案；
（3）由點(diǎn)F在邊DC上時(shí)，GF=GC+FC可進(jìn)行判斷；
（4）當(dāng)∠B=90°時(shí)，此此菱形是正方形，此時(shí)點(diǎn)F在CD邊上且CF=

1

4

CD．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，（1分）
∵E是BC中點(diǎn)，
∴易證△ABE≌△GCE，
∴AB=CG，（2分）
∵AG平分∠FAB，
∴易證AF=GF，（3分）
∵GF=GC-FC，
∴AF=BC-CF；（4分）

（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，同理可得BC=AB=CG=AC，（5分）
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°；（6分）

（3）不成立（7分）
正確結(jié)論為：AF=BC+CF；（8分）

（4）當(dāng)∠B=90°時(shí)，點(diǎn)F在CD邊上且CF=

1

4

CD．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣．