關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-m=0
①已知1+
3
是方程的一個根,求它的另一根及m的值
②判斷命題:“若m≤2,則方程x2-2x-m=0總有兩個不相等的實數(shù)根”的真假,如果是真命題請給出證明;如果是假命題請舉出一個反例說明
分析:①由兩根之和可以求出方程的另一個根,由兩根之積可以求出m的值.②用一元二次方程根的判別式證明命題的真假,然后用具體的數(shù)字說明.
解答:解:①設(shè)方程的另一個根為x1,則:
x1+1+
3
=2,
∴x1=1-
3

x1•(1+
3
)=-m,
(1-
3
)(1+
3
)=-2=-m,
∴m=2.
故另一個根是:1-
3
,m=2.

②△=4+4m>0,
m>-1.
∴當(dāng)m>-1時,方程總有兩個不等實數(shù)根.
故命題“若m≤2,則方程x2-2x-m=0總有兩個不相等的實數(shù)根”是假命題.
如當(dāng)m=-2時,方程為x2-2x+2=0,此時△=4-8=-4<0,方程沒有實數(shù)根.
點(diǎn)評:本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式,①由兩根之和可以求出方程的另一個根,兩根之積可以求出m的值.②用判別式可以求出方程有兩個不相等的實數(shù)根時m的取值范圍,可以證明命題是假命題,然后用具體的數(shù)字說明.
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65
2
65
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b
a
,x1•x2=
c
a
,把它們稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理,請利用此定理解答一下問題:
已知x1,x2是一員二次方程(m-3)x2+2mx+m=0的兩個實數(shù)根.
(1)是否存在實數(shù)m,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出m的值,若不存在,請你說明理由;
(2)若|x1-x2|=
3
,求m的值和此時方程的兩根.

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