【答案】
分析:(1)先連接AB,根據(jù)A點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn),且C交x軸于O、B,得出AO=AB,再根據(jù)∠AOB=60°,得出△ABO是等邊三角形,再過A作AE⊥x軸于E,在Rt△OAE中,求出OD、AE的值,即可求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo),最后設(shè)拋物線C的解析式,求出a的值,從而得出拋物線C的解析式;
(2)先過A作AE⊥OB于E,根據(jù)題意得出OE=
OB=2,再根據(jù)直線OA的解析式為y=x,得出AE=OE=2,求出點(diǎn)A的坐標(biāo),再將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax
2+bx+c(a<0)中,求出a的值,得出拋物線C的解析式,再根據(jù)拋物線C、C′關(guān)于原點(diǎn)對稱,從而得出拋物線C′的解析式;
(3)先作A′B的垂直平分線l,分別交A′B、x軸于M、N(n,0),由(2)知,拋物線C′的頂點(diǎn)為A′(-2,-2),得出A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo),再作MH⊥x軸于H,得出△MHN∽△BHM,則MH
2=HN•HB,求出N點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)直線l過點(diǎn)M(1,-1)、N(
,0),得出直線l的解析式,求出x的值,再根據(jù)拋物線C上存在兩點(diǎn)使得PB=PA',從而得出P
1,P
2坐標(biāo),再根據(jù)拋物線C′上也存在兩點(diǎn)使得PB=PA',得出P
3,P
4的坐標(biāo),即可求出答案.
解答:解:(1)連接AB.
∵A點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn),且拋物線C交x軸于O、B,
∴AO=AB,
又∵∠AOB=60°,
∴△ABO是等邊三角形,
過A作AD⊥x軸于D,在Rt△OAD中,
∴OD=2,AD=
,
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,
)
設(shè)拋物線C的解析式為
(a≠0),
將O(0,0)的坐標(biāo)代入,
求得:a=
,
∴拋物線C的解析式為
.
(2)過A作AE⊥OB于E,
∵拋物線C:y=ax
2+bx+c(a<0)過原點(diǎn)和B(4,0),頂點(diǎn)為A,
∴OE=
OB=2,
又∵直線OA的解析式為y=x,
∴AE=OE=2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),
將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax
2+bx+c(a<0)中,
∴a=
,
∴拋物線C的解析式為
,
又∵拋物線C、C′關(guān)于原點(diǎn)對稱,
∴拋物線C′的解析式為
;
(3)作A′B的垂直平分線l,分別交A′B、x軸于M、N(n,0),
由前可知,拋物線C′的頂點(diǎn)為A′(-2,-2),
故A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-1).
作MH⊥x軸于H,
∴△MHN∽△BHM,則MH
2=HN•HB,即1
2=(1-n)(4-1),
∴
,即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(
,0).
∵直線l過點(diǎn)M(1,-1)、N(
,0),
∴直線l的解析式為y=-3x+2,
,解得
.
∴在拋物線C上存在兩點(diǎn)使得PB=PA',其坐標(biāo)分別為
P
1(
,
),P
2(
,
);
解
得,
.
∴在拋物線C′上也存在兩點(diǎn)使得PB=PA',其坐標(biāo)分別為
P
3(-5+
,17-3
),P
4(-5-
,17+3
).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是:P
1(
,
),P
2(
,
),P
3(-5+
,17-3
),P
4(-5-
,17+3
).
點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)的綜合,其中涉及到的知識點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),點(diǎn)的坐標(biāo),待定系數(shù)法求二次函數(shù)等知識點(diǎn),難度較大,綜合性較強(qiáng).