Question

如圖，已知直角梯形ABCD ,∠B=90⁰。,AD∥BC,并且AD+BC=CD,0為AB的中點.

    (1)求證：以AB為直徑的⊙D與斜腰CD相切；

    (2)若OC=8 cm，OD=6 cm,求CD的長.

Answer 1

證明：（方法一）

過AB的中點O作OE⊥CD于E.

S_梯形ABCD=(AD+BC) •AB=(AD+BC) •OA

=2(AD•OA+BC•OB)

=2(S_⊿OAD +S_⊿OBC)

由S_梯形ABCD =S_⊿OBC+ S_⊿OAD+ S_⊿OCD

∴S_⊿OBC+ S_⊿OAD=S_⊿OCD

∴AD•OA+BC•OA=CD·OE

∴(AD+BC) ·OA=CD·OE又AD+BC=CD  

∴OA=OE,∴E點在以AB為直徑的⊙O上，又OE⊥CD

∴CD是⊙O的切線

即：CD與⊙O相切                     …………5分

方法二：

在CD上取中點F，連接OF，有梯形中位線可知OF=(AD+BC)= CD

∴O點在以CD為直徑的⊙F上

∴∠1=∠3,∠2=∠4，又OF∥AD∥BC

∴∠5=∠3,∠6=∠4

∴∠1=∠5, ∠2=∠6

在CD上取點E，且DE=DA，則CE=CB

∴⊿OAD≌⊿OED, ⊿OBC≌⊿OEC

∴∠A=∠OED=90°, ∠B=∠OEC=90°

∴OE⊥CD,且OE的長為⊙O的半徑，∴以AB為直徑的⊙O與CD相切于E。由CD為直徑的⊙F與AB相切于O，則OD⊥OC.

∴CD=                       …………5分