Question

如圖，△ABC內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的角平分線相交于點(diǎn)E，連接AE．已知∠BEC=40°，則∠CAE=________．

Answer 1

50°
分析：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義列式并整理得到∠BAC=2∠BEC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BA交延長(zhǎng)線于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得EF=FH，EG=EH，然后求出EF=EG，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出AE是∠CAF的平分線，再根據(jù)角平分線的定義解答即可．
解答：解：∵∠ABC與∠ACD的角平分線相交于點(diǎn)E，
∴∠CBE=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴∠ACD=∠BEC+∠ABC，
∴（∠ABC+∠BAC）=∠BEC+∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC，
∵∠BEC=40°，
∴∠BAC=2×40°=80°，
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BA交延長(zhǎng)線于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=EH，
∵CE平分∠ACD，
∴EG=EH，
∴EF=EG，
∴AE是∠CAF的平分線，
∴∠CAE=（180°-∠BAC）=（180°-80°）=50°．
故答案為：50°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線并判斷出AE是△ABC外角的平分線．