Question

在平面上，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O，且滿足AB=CD．有下列四個(gè)條件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）

AO

CO

=

DO

BO

；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一個(gè)條件，就一定能使∠BAC=∠CDB成立，這樣的條件可以是

 

．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)符合條件的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)所給條件分別結(jié)合（1）、（2）、（3）、（4）進(jìn)行推理論證．

解答：解：如右圖所示，
（1）若OB=OC，結(jié)合AB=CD，不能證明△ABC≌△DCB，也不能證明△AOB≌△DOC，更不能證明△AOB∽△DOC，
故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

（2）若AD∥BC，四邊形ABCD是梯形，則△AOD∽△COB，于是

OA

OC

=

OD

OB

，結(jié)合∠AOB=∠DOC，
可知△AOB∽△COD，那么∠BAC=∠CDB，
若四邊形ABCD是平行四邊形，則∠BAC≠∠CDB，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；


（3）∵

AO

CO

=

DO

BO

，則

AO

DO

=

CO

BO

且∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴∠BAC=∠CDB，故此選項(xiàng)正確；

（4）∵∠OAD=∠OBC，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∴

OA

OB

=

OD

OC

，
∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，故此選項(xiàng)正確．
故答案為：（3）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是看能否證明全等或相似．