Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點D在y軸上.直線CB的表達式為，點A、D的坐標(biāo)分別為（－4，0），（0，4）. 動點P從A點出發(fā)，在AB邊上勻速運動. 動點Q從點B出發(fā)，在折線BCD上勻速運動，速度均為每秒1個單位長度. 當(dāng)其中一個動點到達終點時，另一動點也停止運動. 設(shè)點P運動t（秒）時，△OPQ的面積為S（不能構(gòu)成△OPQ的動點除外）.

1.求出點C的坐標(biāo)

2.求S隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；

3.當(dāng)t為何值時，S有最大值？并求出這個最大值

 

Answer 1

【答案】

 

1.把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.

        ∴C點的坐標(biāo)為（1，4）.

2.當(dāng)y＝0時，－x＋＝0，

∴x＝4.∴點B坐標(biāo)為（4，0）.

過點C作CM⊥AB于M，則CM＝4，BM＝3.

∴BC＝＝＝5.

∴sin∠ABC＝＝.

①  0＜t＜4時，過Q作QN⊥OB于N，

② 

則QN＝BQ·sin∠ABC＝t.

∴S＝OP·QN＝（4－t）×t ＝－t²＋t（0＜t＜4）. ……………2分

②當(dāng)4＜t≤5時，

連接QO，QP，過點Q作QN⊥OB于N.

同理可得QN＝t.

∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t.

   ＝t²－t（4＜t≤5）. …………………………….3分

③當(dāng)5＜t≤6時，

連接QO，QP.

S＝×OP×OD＝（t－4）×4.

 ＝2t－8（5＜t≤6）. ……………………………….4分

S隨t變化的函數(shù)關(guān)系式是.

3.①當(dāng)0＜t＜4時，

∵－<0

當(dāng)t＝＝2時，

S_最大＝＝.  ……………………………5分

②當(dāng)4＜t≤5時， S＝t²－t，對稱軸為t＝－＝2，

∵>0

∴在4＜t≤5時，S隨t的增大而增大.

∴當(dāng)t＝5時，S_最大＝×5²－×5＝2. …………………………..6分

③當(dāng)5＜t≤6時，

在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S隨t的增大而增大.

∴當(dāng)t＝6時，S_最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分

∴綜合三種情況，當(dāng)t＝6時，S取得最大值，最大值是4. ………………………8分

【解析】（1）把y＝4代入直線解析式，即可求得點C的坐標(biāo)；

（2）作垂線構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理和三角函數(shù)、面積的有關(guān)計算求得函數(shù)解析式，注意t的取值范圍不同，S的解析式就不同。

 （3）根據(jù)（2）中的三種情況，分別求出S的最大值。