如圖1,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2)、點(diǎn)B(-2,0),過(guò)點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.
(1)填空:點(diǎn)D的坐標(biāo)為______,點(diǎn)E的坐標(biāo)為______.
(2)若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A、D、E三點(diǎn),求該拋物線的解析式.
(3)若正方形和拋物線均以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移,直至正方形的頂點(diǎn)E落在y軸上時(shí),正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng).
①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s,求s關(guān)于平移時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍.
②運(yùn)動(dòng)停止時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】分析:(1)構(gòu)造全等三角形,由全等三角形對(duì)應(yīng)線段之間的相等關(guān)系,求出點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(3)本問(wèn)非常復(fù)雜,須小心思考與計(jì)算:
①為求s的表達(dá)式,需要識(shí)別正方形(與拋物線)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.正方形的平移,從開始到結(jié)束,總共歷時(shí)秒,期間可以劃分成三個(gè)階段:當(dāng)0<t≤時(shí),對(duì)應(yīng)圖(3)a;當(dāng)<t≤1時(shí),對(duì)應(yīng)圖(3)b;當(dāng)1<t≤時(shí),對(duì)應(yīng)圖(3)c.每個(gè)階段的表達(dá)式不同,請(qǐng)對(duì)照?qǐng)D形認(rèn)真思考;
②當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí),點(diǎn)E到達(dá)y軸,點(diǎn)E(-3,2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′(0,),可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位,向上平移了個(gè)單位.由此得到平移之后的拋物線解析式,進(jìn)而求出其頂點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意可知:OB=2,OC=1.
如圖(1)所示,過(guò)D點(diǎn)作DH⊥y軸于H,過(guò)E點(diǎn)作EG⊥x軸于G.
易證△CDH≌△BCO,∴DH=OC=1,CH=OB=2,∴D(-1,3);
同理△EBG≌△BCO,∴BG=OC=1,EG=OB=2,∴E(-3,2).
∴D(-1,3)、E(-3,2).

(2)拋物線經(jīng)過(guò)(0,2)、(-1,3)、(-3,2),
?
解得  ,


(3)①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上時(shí),t=
當(dāng)0<t≤時(shí),如圖(3)a所示.
設(shè)D′C′交y軸于點(diǎn)F
∵tan∠BCO==2,又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2,即=2
∵CC′=t,∴FC′=2t.?
∴S△CC′F?=CC′•FC′=t=5t2
當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),t=1.
當(dāng)<t≤1時(shí),如圖(3)b所示.
設(shè)D′E′交y軸于點(diǎn)G,過(guò)G作GH⊥B′C′于H.
在Rt△BOC中,BC=
∴GH=,∴CH=GH=
∵CC′=t,∴HC′=t-,∴GD′=t-
∴S梯形CC′D′G?=t-+t) =5t-
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上時(shí),t=
當(dāng)1<t≤時(shí),如圖(3)c所示
設(shè)D′E′、E′B′分別交y軸于點(diǎn)M、N
∵CC′=t,B′C′=,
∴CB′=t-,?∴B′N=2CB′=t-
∵B′E′=,∴E′N=B′E′-B′N=-t
∴E′M=E′N=-t)
∴S△MNE′?=-t)•-t)=5t2-15t+
∴S五邊形B′C′D′MN?=S正方形B′C′D′E′?-S△MNE′?=(5t2-15t+)=-5t2+15t-
綜上所述,S與x的函數(shù)關(guān)系式為:
當(dāng)0<t≤時(shí),S=5t2
當(dāng)<t≤1時(shí),S=5t
當(dāng)1<t≤時(shí),S=-5t2+15t
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.如圖(3)d所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C

∵OB=2,B′E′=BC=

∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+=
∴E′(0,
由點(diǎn)E(-3,2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′(0,),可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位,向上平移了個(gè)單位.
=?
∴原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,
∴運(yùn)動(dòng)停止時(shí),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,).
點(diǎn)評(píng):本題是非常典型的動(dòng)線型綜合題,全面考查了初中數(shù)學(xué)代數(shù)幾何的多個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),包括:二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、拋物線與幾何變換(平移)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等.難點(diǎn)在于第(3)問(wèn),識(shí)別正方形和拋物線平移過(guò)程的不同階段是關(guān)鍵所在.作為中考?jí)狠S題,本題涉及考點(diǎn)眾多,計(jì)算復(fù)雜,因而難度很大,對(duì)考生綜合能力要求很高,具有很好的區(qū)分度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=
kx
(k>0)
的圖象與矩形AOBC的邊AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F,且點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,3),將△CEF沿EF對(duì)折后,C點(diǎn)恰好落在OB上.
(1)求k的值;
(2)如圖2,在直角坐標(biāo)系中,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),請(qǐng)?jiān)陔p曲線上找兩點(diǎn)M、N,使四邊形OPMN是平行四邊形,求M、N的坐標(biāo).
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(2012•達(dá)州)如圖1,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2)、點(diǎn)B(-2,0),過(guò)點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.
(1)填空:點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(-1,3)
(-1,3)
,點(diǎn)E的坐標(biāo)為
(-3,2)
(-3,2)

(2)若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A、D、E三點(diǎn),求該拋物線的解析式.
(3)若正方形和拋物線均以每秒
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個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移,直至正方形的頂點(diǎn)E落在y軸上時(shí),正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng).
①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s,求s關(guān)于平移時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍.
②運(yùn)動(dòng)停止時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

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已知在Rt△OAB中,∠B=90°,AO=
12
,BA=2.把△OAB按如圖方式放置在直角坐標(biāo)系中,使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,點(diǎn)A落在x軸正半軸上.求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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如圖1,在直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,b),且a、b滿足
a-b
+
a2-144
a+12
=0

(1)求證:∠OAB=∠OBA.
(2)如圖2,△OAB沿直線AB翻折得到△ABM,將OA繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AF處,連接OF,作AN平分∠MAF交OF于N點(diǎn),連接BN,求∠ANB的度數(shù).
(3)如圖3,若D(0,4),EB⊥OB于B,且滿足∠EAD=45°,試求線段EB的長(zhǎng)度.

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如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中,
(1)若把△ABC向上平移2個(gè)單位,再向左平移1個(gè)單位得到△A1B1C1,寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)
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