Question

如圖，⊙O是O為圓心，半徑為

5

的圓，直線y=kx+b交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)．
（1）若OA=OB
①求k；
②若b=4，點(diǎn)P為直線AB上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為C、D，若∠CPD=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若k=-

1

2

，且直線y=kx+b分⊙O的圓周為1：2兩部分，求b．

Answer 1

分析：（1）①由OA=OB，設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=kx+b即可求得k；
②由題意得，Rt△POC≌Rt△POD∠CPO=∠DPO=

1

2

∠CPD=45°算出OP的長，則P點(diǎn)坐標(biāo)即可確定；
（2）根據(jù)題意，當(dāng)直線被⊙O切割的弦長對應(yīng)的劣弧的圓心角為120°時(shí)，求出b即可．

解答：解：（1）①由OA=OB，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)（a，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，a），
把這兩點(diǎn)代入直線的解析式y(tǒng)=kx+b得：

ak+b=0 b=a

，
解得：k=-1．
②由題意得，Rt△POC≌Rt△POD，
∴∠CPO=∠DPO=

1

2

∠CPD=45°，OP=

2

OC=

2

R=

10

，
又∵直線的函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+4，
故設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，-x+4）
OP=

x2+(-x+4)2

=

10

，解得：x=1或3
∴P（1，3）或（3，1）
（2）由題意得，當(dāng)直線被切割的弦所對的圓周角為120°時(shí)，
弦長為2Rsin60°=

3

R時(shí)，弦分圓周為1：2，符合題意，
聯(lián)立直線和圓的方程得，

y=- 1 2 x+b    ① x2+y2=5    ②

將①代入②消去y得x²+（-

1

2

x+b）²=5，即

5

4

x²-bx+b²-5=0
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

16

25

b²-

16

5

b²+16=-

64

25

b²+16，
將①代入②消去x得 （2b-2y）²+y²=5，即5y²-8by+4b²-5=0
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

16

25

b²-

16

5

b²+16=-

64

25

b²+16，
將解得的兩交點(diǎn)坐標(biāo)用兩點(diǎn)間距離公式得

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

3

R
解得：b=±

5

4

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運(yùn)用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．