Question

如圖，在直角坐標平面xOy內(nèi)，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限內(nèi)，且∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4．二次函數(shù)y=-x²+bx的圖象經(jīng)過點A，頂點為點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點C的坐標；
（2）設(shè)這個二次函數(shù)圖象的對稱軸l與OB相交于點D，與x軸相交于點E，求的值；
（3）設(shè)P是這個二次函數(shù)圖象的對稱軸l上一點，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴．
∴A（，0）．
∵二次函數(shù)y=-x²+bx的圖象經(jīng)過點A，
∴．
解得．
∴二次函數(shù)的解析式為．
頂點C的坐標是（，3）．

（2）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴AB=2．
由DE是二次函數(shù)的圖象的對稱軸，
可知DE∥AB，OE=AE．
∴．即得DE=1．
又∵C（，3），∴CE=3．
即得CD=2．
∴．

（3）根據(jù)題意，可設(shè)P（，n）．
∵，CE=3，
∴．
∴．
解得．
∴點P的坐標為P₁（，）、P₂（，）．
分析：（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得點A，代入函數(shù)式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的長度，由拋物線的對稱軸可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，進而求得CD，從而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面積相等即求得．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，考查了直角三角形內(nèi)的三角函數(shù)，拋物線過一點，即代入求得；通過拋物線的對稱軸來做題，方便快捷，這也考查了靈活的思維；通過面積的求得，來求得點的做標，只是考查的手段，問題考查的思路．