Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-1，0），B（2，0），與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并指出二次函數(shù)圖象的對稱軸；
（2）如在這條拋物線上有一點P，且點P的橫坐標為-2，在x軸上有一點Q，使△BPQ與△ABC相似，求點Q的坐標？

Answer 1

分析：（1）運用待定系數(shù)法即可求解，根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點，即可直接指出其對稱軸；
（2）根據(jù)（1）求得的拋物線解析式求得點P的坐標，根據(jù)已知點的坐標發(fā)現(xiàn)兩個等腰直角三角形，即△BOC和△BOD，則∠PBQ=∠ABC．要使△BPQ與△ABC相似，只需夾這個角的兩條對應邊的比相等即可，應考慮兩種情況．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

1-b+c=0 4+2b+c=0

，
解得

b=-1 c=-2

．
則這個二次函數(shù)的解析式是y=x²-x-2，二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=

1

2

．

（2）∵點P的橫坐標為-2，
∴點P的縱坐標為4，即P（-2，4）．
∴∠PBQ=∠ABC=45°．
要使△BPQ與△ABC相似，只需

BP

AB

=

BQ

BC

或

BP

BC

=

BQ

AB

．
根據(jù)已知點的坐標，得BP=4

2

，BC=2

2

，AB=3，
若

BP

AB

=

BQ

BC

，則BQ=

16

3

，即Q（-

10

3

，0）；
若

BP

BC

=

BQ

AB

，則BQ=6，即Q（-4，0）．

點評：此題綜合考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法和相似三角形的判定．注意探究三角形相似的時候，分情況討論其不同的對應關(guān)系．