Question

某企業(yè)為打入國際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）

項(xiàng) 目 類 別	年固定 成本	每件產(chǎn)品 成本	每件產(chǎn)品 銷售價(jià)	每年最多可 生產(chǎn)的件數(shù)
A產(chǎn)品	20	m	10	200
B產(chǎn)品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定，預(yù)計(jì)6≤m≤8．另外，年銷售x件B產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x²萬美元的特別關(guān)稅．假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去．

（1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其自變量取值范圍；

（2）如何投資才可獲得最大年利潤？請(qǐng)你做出規(guī)劃．

Answer 1

解：（1）由年銷售量為x件，按利潤的計(jì)算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤y₁，y₂分別為：

y₁=10x﹣（20+mx）=（10﹣m）x﹣20，（0≤x≤200），

y₂=18x﹣（40+8x）﹣0.05x²=﹣0.05x²+10x﹣40，（0≤x≤120）；

（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y₁=（10﹣m）x﹣20，為增函數(shù)，

又∵0≤x≤120，∴當(dāng)x=200時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（萬美元）

又∵y₂=﹣0.05x²+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）²+460，（0≤x≤120）

∴當(dāng)x=100時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤為460（萬美元）

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，為此，我們作差比較：

∵生產(chǎn)A產(chǎn)品最大利潤為1980﹣200m（萬美元），生產(chǎn)B產(chǎn)品最大利潤為460（萬美元），

∴（1980﹣200m）﹣460=1520﹣200m，且6≤m≤8，

當(dāng)1520﹣200m＞0時(shí)，6≤m＜7.6，

當(dāng)1520﹣200m=0時(shí)，m=7.6，

當(dāng)1520﹣200m＜0時(shí)，7.6＜m≤8，

所以：當(dāng)6≤m＜7.6時(shí)，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤；

當(dāng)m=7.6時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤；

當(dāng)7.6＜m≤8時(shí)，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤．