Question

如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD相交于點(diǎn)F．
求證：（1）△DAC≌△BAE；
（2）BE=DC；
（3）求∠DFE的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）證明：∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴BE=DC；
（3）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠AEB，
則∠DFE=∠FEC+∠FCE=∠FEC+∠ACD+∠ACE=∠FEC+∠AEB+∠ACE=∠AEC+∠ACE=120°．
分析：（1）由三角形ABD與三角形ACE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，兩三角形的內(nèi)角都為60°，利用等式的性質(zhì)得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得證；
（2）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到BE=DC；
（3）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠ACD=∠AEB，而∠DFE為三角形EFC的外角，利用外角的性質(zhì)列出關(guān)系式，等量代換后即可求出其度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．